Questão FC188663
Jorge é um professor de matemática que está utilizando um software de geometria dinâmica para rever com seus alunos o Teorema de Tales. Para isso, Jorge pediu que fossem construída
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CESGRANRIO · 2010
Jorge é um professor de matemática que está utilizando um software de geometria dinâmica para rever com seus alunos o Teorema de Tales. Para isso, Jorge pediu que fossem construídas duas semirretas partindo de um mesmo ponto M, que formassem um ângulo agudo, e uma reta que fosse perpendicular a uma delas. Os pontos de interseção da reta com as semirretas deveriam ser representados por A e B e os comprimentos \(\overline{MA}\) e \(\overline{AB}\) e a razão \(\large{\overline{MA} \over \overline{AB}}\), deveriam ser calculados por meio das ferramentas do software.
Cumpridas estas etapas, Jorge solicitou aos alunos que deslocassem a reta definida pelos pontos A e B paralelamente à sua posição inicial, utilizando a funcionalidade mover objeto (ou mover elemento), que é comum a todos os programas de geometria dinâmica. Ao fazerem isso, os alunos verificaram que os comprimentos \(\overline{MA}\) e \(\overline{AB}\) variavam, mas a razão \(\large{\overline{MA} \over \overline{AB}}\) permanecia constante.
Esta atividade apresentada por Jorge seria também adequada para
- introduzir as razões trigonométricas clássicas.
- contextualizar a resolução de sistemas lineares.
- definir o conceito de área.
- explorar o conceito de lugar geométrico.
- deduzir a equação geral da reta.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
A
Comentário do professor
Vamos analisar a alternativa A, que propõe a introdução das razões trigonométricas clássicas.
A atividade realizada por Jorge, ao definir um triângulo \( \triangle ABM \), onde \( M \) é o ponto de origem das semirretas e a reta que passa por \( A \) e \( B \) é perpendicular a uma das semirretas, cria um cenário propício para a aplicação das razões trigonométricas.
Uma vez que sabemos que o triângulo \( \triangle ABM \) é um triângulo retângulo, podemos observar as seguintes relações:
1. A razão seno é dada por:
\( \sin(\theta) = \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} \)
2. A razão cosseno é dada por:
\( \cos(\theta) = \frac{\overline{AB}}{\overline{MB}} \)
3. A razão tangente se expressa como:
\( \tan(\theta) = \frac{\overline{MA}}{\overline{AB}} \)
Como a relação \( \large{\overline{MA} \over \overline{AB}} \) se mantém constante ao mover a reta paralelamente, essa implementação essencialmente demonstra que, mesmo alterando o comprimento das semirretas, a razão permanece a mesma. Isso mostra a invariância das razões trigonométricas em um triângulo retângulo, dado um ângulo fixo.
Dessa forma, ao reorientar o foco para as razões trigonométricas, podemos trazer uma nova camada de entendimento sobre a relação entre os ângulos e os lados em triângulos retângulos, aproveitando ao máximo os recursos do software de geometria dinâmica de forma interativa e visual.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Trigonometria no Triângulo RetânguloConteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em