Considere a matriz de rotação R de um ângulo \(\psi \ne 0\) em torno do eixo Z. \(R = \begin{bmatrix} cos\ \psi & sen\ \psi & 0 \\ - sen\ \psi & cos\ \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bma

Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa correta apresentada na questão é:

R^-1 = R^T

Vamos analisar essa afirmação. A matriz R é a matriz de rotação em torno do eixo Z, dada por:

\(R = \begin{bmatrix} cos\ \psi & sen\ \psi & 0 \\ -sen\ \psi & cos\ \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

A primeira etapa é entender o que significa dizer que a matriz transposta R^T é igual à matriz inversa R^-1.

Em geral, para qualquer matriz A, a relação A^-1 = A^T é verdadeira quando a matriz é ortogonal. Matrizes ortogonais têm a propriedade de que seus vetores coluna (ou linha) formam um conjunto ortonormal.

Agora, vamos calcular a matriz transposta R^T:

\(R^T = \begin{bmatrix} cos\ \psi & -sen\ \psi & 0 \\ sen\ \psi & cos\ \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Em seguida, precisamos verificar se R multiplicado por R^T resulta na matriz identidade I. O produto R · R^T é dado por:

\(R \cdot R^T = \begin{bmatrix} cos\ \psi & sen\ \psi & 0 \\ -sen\ \psi & cos\ \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cos\ \psi & -sen\ \psi & 0 \\ sen\ \psi & cos\ \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Calculando essa multiplicação, obtemos:

\(= \begin{bmatrix} (cos\ \psi)^2 + (sen\ \psi)^2 & 0 & 0 \\ 0 & (sen\ \psi)^2 + (cos\ \psi)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Como o resultado é a matriz identidade I, podemos afirmar que:

R^-1 = R^T. Portanto, a alternativa está correta.

Gabarito: Letra A