Sejam A e B duas matrizes quadradas 2x2, tal que \(A = {\begin {bmatrix} 2\,\,\,4\\-1\,\,\,6 \end{bmatrix}}\), e \(A.B =I\) , onde I é a matriz identidade 2x2. Assim, a soma dos el

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que a soma dos elementos da matriz \(B\) é igual a \( \frac{5}{16} \).

Primeiro, lembramos que temos a matriz \(A\) dada por:

\(A = \begin {bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 6 \end{bmatrix}\)

Sabemos que \(A \cdot B = I\), onde \(I\) é a matriz identidade \(2\times2\):

\(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Vamos considerar a matriz \(B\) como:

\(B = \begin{bmatrix} w & x \\ y & z \end{bmatrix}\)

Multiplicando as matrizes \(A\) e \(B\), obtemos as seguintes equações:

1. \(1 = 2w + 4y\)

2. \(0 = 2x + 4z\)

3. \(0 = -w + 6y\)

4. \(1 = -x + 6z\)

Vamos resolver essas equações passo a passo.

Da equação (2), podemos reescrever como:

\(x = -2z\) (2)

A partir da equação (3), temos:

\(w = 6y\) (3)

Substituindo \(x\) e \(w\) nas equações adequadas:

Substituindo \(w\) na equação (1):

\(1 = 2(6y) + 4y \Rightarrow 1 = 12y + 4y \Rightarrow 16y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{16}\)

Agora substituindo \(y\) em \(w\):

\(w = 6y = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}\)

Para o valor de \(z\), substituímos \(x = -2z\) na equação (4):

\(1 = -(-2z) + 6z = 2z + 6z = 8z \Rightarrow z = \frac{1}{8}\)

Agora, encontramos \(x\):

\(x = -2z = -2 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} = -\frac{4}{16}\)

Até aqui, temos:

\(w = \frac{6}{16}, \; x = -\frac{4}{16}, \; y = \frac{1}{16}, \; z = \frac{2}{16}\)

Agora, vamos somar os elementos da matriz \(B\):

\(w + x + y + z = \frac{6}{16} + \left(-\frac{4}{16}\right) + \frac{1}{16} + \frac{2}{16}\)

Então, temos:

\(= \frac{6 - 4 + 1 + 2}{16} = \frac{5}{16}\)

Assim, confirmamos que a soma dos elementos da matriz \(B\) é de fato \( \frac{5}{16} \), corroborando a alternativa correta.