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Questão FC188667

Em um laboratório, um geólogo investiga a densidade de quatro tipos de materiais diferentes, inicialmente denominados X, Y, W e Z, coletados em campo. Eles estão distribuídos em ca

Matrizes

CESGRANRIO · 2018

Em um laboratório, um geólogo investiga a densidade de quatro tipos de materiais diferentes, inicialmente denominados X, Y, W e Z, coletados em campo. Eles estão distribuídos em camadas, não misturadas entre si, no interior de quatro tubos de mesma massa (quando vazios), numerados de 1 a 4, conforme ilustra a Figura a seguir.

 

 

Sobre os dados, sabe-se que: (i) \(m_k\) é a massa conjunta do tubo k com os materiais nele contidos, para 1 ≤ k ≤ 4; (ii) cada tubo vazio tem massa igual a \(m_0\); (iii) as densidades dos materiais X, Y, W, e Z são, respectivamente, \(d_x\), \(d_y\), \(d_w\) e \(d_z\); (iv) os volumes de cada material, em cada um dos quatro tubos, estão representados pelo quadro a seguir.

 
  1 2 3 4
X 0,7 1,0 0,4 0,5
Y 1,4 0,3 1,6 0,8
W 0,5 1,7 0,5 0,4
Z 0,8 0,8 0,6 1,8
 

Considere que esses dados foram organizados nas matrizes M, D e V, assim definidas:

 

 

Assim, o sistema de equações que modela matematicamente o problema, representado em sua forma matricial, é:

  1. D = \(M^T\) . \(V^{-1}\)
  2. D = V . M
  3. D = M . \(V^{-1}\)
  4. D = \(M^T\) . V
  5. D = \(V^{-1}\) . \(M^T\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é a opção A: \(D = M^T \cdot V^{-1}\).

Primeiro, entendemos que \(D\) representa a matriz de densidades dos materiais, \(M\) é a matriz das massas conjuntas dos tubos com os materiais dentro deles, e \(V\) é a matriz dos volumes dos materiais nos tubos.

A relação expressa na alternativa indica que estamos usando a transposta de \(M\) multiplicada pela inversa de \(V\). Essa configuração é importante para fazer as unidades "se cancelarem" de maneira adequada e obter a densidade como resultado.

Como a densidade é definida como a razão entre a massa e o volume, podemos expressar essa relação como:

\(d = \frac{m}{v}\)

Reorganizando os termos dessa relação para expressar a densidade em termos de matrizes, consideramos que:

  • \(D\) (\(1 \times 4\)) precisará estar na forma em que se possa calcular a densidade a partir de \(M\) (\(4 \times 1\)) aproveitando a inversão de \(V\) (\(4 \times 4\)).

Para que isso funcione, precisamos transpor a matriz \(M\) para que o número de colunas de \(M^T\) (que será \(1\)) seja igual ao número de linhas de \(V^{-1}\) (que é \(4\)).

O produto de \(M^T\) e \(V^{-1}\) resulta em uma matriz que representa as densidades dos materiais, ou seja, \(D\) fornece as densidades \(d_x\), \(d_y\), \(d_w\) e \(d_z\) corretamente.

Além disso, não podemos usar o produto \(M^T \cdot V\) diretamente, pois isso resultaria em um valor que não representa a densidade, mas sim uma soma de produtos de massas e volumes.

Assim, a expressão correta para a densidade é:

\(D = M^T \cdot V^{-1}\).

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