De quantas maneiras distintas se pode montar a matriz A4x4, de modo que todas as condições sejam satisfeitas?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Na questão apresentada, a alternativa correta é 64, resultante do total de matrizes que podem ser formadas sob as condições especificadas.

Vamos analisar as condições:

1. A diagonal principal é nula:

A condição \( a_{ii} = 0 \) para \( i = 1, 2, 3, 4 \) implica que todos os elementos da diagonal principal da matriz devem ser zero. Assim, a matriz assumirá a seguinte forma:

\(\begin{bmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 \end{bmatrix}\)

2. A matriz é simétrica:

A condição \( a_{ij} = a_{ji} \) revela que a matriz deve ser simétrica. Portanto, apenas os elementos acima da diagonal precisam ser definidos, pois os elementos abaixo serão iguais a esses.

Assim, os elementos que podemos definir são os seguintes:

• \( a_{12} \)
• \( a_{13} \)
• \( a_{14} \)
• \( a_{23} \)
• \( a_{24} \)
• \( a_{34} \)

Existem 6 posições que podem ser preenchidas com 0 ou 1. Para cada uma dessas posições, temos 2 possibilidades (0 ou 1).

3. Cálculo total:

Portanto, o número total de matrizes que satisfazem todas as condições é dado por:

\(2^6 = 64\)

Assim, a alternativa correta é a letra C, que afirma que existem 64 maneiras distintas de montar a matriz A_4x4.