Sejam \(\alpha\) e \(\beta\) duas bases do \(\mathbb{R}^2\) tais que a matriz mudança de base, de \(\alpha\) para \(\beta\), é dada por \(\begin{bmatrix} 5&3\\6&4 \end{bmatrix}\).

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A alternativa correta é:

\(\begin{bmatrix} 2 & -\frac{3}{2} \\ -3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}\)

Quando queremos encontrar a matriz de mudança de base de \(\beta\) para \(\alpha\), precisamos calcular a inversa da matriz de mudança de base de \(\alpha\) para \(\beta\), que é dada por:

\(\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}\)

A fórmula para calcular a inversa de uma matriz \(2 \times 2\) é:

\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

Neste caso, os elementos da matriz são:

• a = 5
• b = 3
• c = 6
• d = 4

Primeiro, calculamos o determinante:

\(ad - bc = 5 \cdot 4 - 3 \cdot 6 = 20 - 18 = 2\)

Agora, aplicamos os valores na fórmula da inversa:

\(A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -6 & 5 \end{bmatrix}\)

Realizando a multiplicação, obtemos:

\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{3}{2} \\ -3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}\)

Assim, confirmamos que a matriz de mudança de base de \(\beta\) para \(\alpha\) é realmente:

\(\begin{bmatrix} 2 & -\frac{3}{2} \\ -3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}\)

Portanto, a alternativa correta é a letra E.