Questão FC188672
Com respeito à equação M. x = y, em que \(M= { \begin{bmatrix} 4\,\,5\,\,2\,\,-3\\ 3\,\,\,\,\,8\,\,\,\,9\,\,\,\,1\\ 5\,\,\,\,7\,\,\,\,3\,\,-4\\ 7\,\,\,\,6\,\,\,\,6\,\,\,\,0 \end{bm
Matrizes
CESGRANRIO · 2011
Com respeito à equação M. x = y, em que
\(M= { \begin{bmatrix} 4\,\,5\,\,2\,\,-3\\ 3\,\,\,\,\,8\,\,\,\,9\,\,\,\,1\\ 5\,\,\,\,7\,\,\,\,3\,\,-4\\ 7\,\,\,\,6\,\,\,\,6\,\,\,\,0 \end{bmatrix}}\)e \(y= { \begin{bmatrix} 6\\3\\8\\9 \end{bmatrix}}\)
analise as afirmativas abaixo.
I - A equação apresenta uma única solução.
II - O posto da matriz M é igual a 4.
III - A nulidade da Matriz M é igual a 1.
É correto APENAS o que se afirma em
- I
- II
- III
- I e II
- I e III
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Vamos analisar a alternativa correta, que é a afirmativa III: A nulidade da Matriz M é igual a 1.
A nulidade de uma matriz é definida como a diferença entre o número de colunas da matriz e o seu posto. Podemos expressar isso matematicamente da seguinte forma:
\( nul(M) = n - pos(M) \)
Onde \( n \) representa o número total de colunas e \( pos(M) \) é o posto da matriz \( M \).
No nosso caso, a matriz \( M \) possui 4 colunas, logo, temos:
\( n = 4 \)
Agora, para determinar a nulidade, precisamos primeiro encontrar o posto da matriz \( M \). A análise das colunas revela que elas não são todas linearmente independentes. Por exemplo, uma coluna pode ser escrita como combinação de outras, o que reduz o número de pivôs na forma escalonada da matriz.
Ao realizarmos a escalonagem da matriz, podemos determinar que o posto, \( pos(M) \), é igual a 3.
Aplicando essa informação na fórmula da nulidade, temos:
\( nul(M) = 4 - 3 = 1 \)
Assim, de forma conclusiva, a nulidade da matriz \( M \) é efetivamente igual a 1, confirmando que a afirmativa III é correta.
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