Considere a equação matricial \(AX=B\). Se \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\-1 & -1\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}3 & -2 \\1 & 4\end{bmatrix}\), então a matriz X é

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta da questão, que apresenta a matriz:

X = \(\begin{bmatrix}-5 & -6 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\)

Partimos da equação matricial \(AX = B\), onde:

A = \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\-1 & -1\end{bmatrix}\)

B = \(\begin{bmatrix}3 & -2 \\1 & 4\end{bmatrix}\)

Para encontrar a matriz \(X\), devemos efetuar a multiplicação de \(A\) pela matriz \(X\). Considerando que \(X\) é representada como:

X = \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\)

A multiplicação resulta na seguinte equação:

\(A \cdot X = \begin{bmatrix}1 & 2 \\-1 & -1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1a + 2c & 1b + 2d \\-1a - 1c & -1b - 1d\end{bmatrix}\)

Igualando essa multiplicação à matriz \(B\), temos:

\(\begin{bmatrix}3 & -2 \\1 & 4\end{bmatrix}\)

Desse modo, conseguimos estabelecer um sistema de equações a partir das componentes das matrizes:

Para a primeira linha:

\(1a + 2c = 3\)

\(1b + 2d = -2\)

Para a segunda linha:

\(-1a - 1c = 1\)

\(-1b - 1d = 4\)

Ao resolvermos esse sistema, encontramos que:

Substituindo \(c\) na primeira equação, chegamos a:

\(c = 4\) e, a partir disso, obtivemos \(a = -5\).
Da mesma forma, para \(d\), encontramos \(d = 2\) e, por fim, o valor de \(b\) resultou em \(-6\).

Assim, temos finalmente:

X = \(\begin{bmatrix}-5 & -6 \\4 & 2\end{bmatrix}\)

Portanto, a alternativa correta da questão é representada pela matriz \(\begin{bmatrix}-5 & -6 \\4 & 2\end{bmatrix}\).