Considere a matriz quadrada A, de ordem \(n > 1\), onde cada elemento \(aij = i \,x \,j\), para todos os valores de \(i\) e \(j\) pertencentes ao conjunto \(\{1,2,3,...,n\}\). A so

Gabarito

B

Comentário do professor

Para entender a soma de todos os elementos da matriz \(A\), de ordem \(n\), onde cada elemento é definido como \(a_{ij} = i \times j\), precisamos primeiro observar as características dessa matriz.

A matriz \(A\) pode ser representada da seguinte forma:

\(A = \begin{bmatrix} 1 \times 1 & 1 \times 2 & 1 \times 3 & \dots & 1 \times n \\ 2 \times 1 & 2 \times 2 & 2 \times 3 & \dots & 2 \times n \\ 3 \times 1 & 3 \times 2 & 3 \times 3 & \dots & 3 \times n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ n \times 1 & n \times 2 & n \times 3 & \dots & n \times n \end{bmatrix}

Ao somarmos cada linha da matriz, observamos que a primeira linha resulta em:

\(1 \times (1 + 2 + 3 + \dots + n)\)

Para a segunda linha, o fator comum \(2\) pode ser colocado em evidência, resultando em:

\(2 \times (1 + 2 + 3 + \dots + n)\)

Esse raciocínio se aplica a todas as linhas até a \(n\)-ésima, assim, a soma de todos os elementos da matriz \(A\) é:

\((1 + 2 + 3 + \dots + n) + 2 \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) + 3 \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) + \cdots + n \times (1 + 2 + 3 + \dots + n)

Colocando o termo \((1 + 2 + 3 + \dots + n)\) em evidência, chegamos à soma total:

\((1 + 2 + 3 + \dots + n) \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2

Portanto, a soma de todos os elementos da matriz \(A\) é dada por:

\((1 + 2 + 3 + \dots + n)^2\)

Resposta correta: Alternativa B