Considere as matrizes \(A= \begin{bmatrix}1&2&3&4 \end{bmatrix}\) e \(B= \begin{bmatrix}0& 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\). Denotando

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é a matriz:

\(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16 \end{bmatrix}\)

Primeiro, precisamos entender como chegamos a esse resultado. Começamos calculando \(A^t\), que é a matriz transposta de \(A\).

Dado \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{bmatrix}\), temos:

\(A^t = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}\)

Agora, vamos fazer o produto \(A^t \cdot A\):

\(A^t \cdot A = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{bmatrix}\)

Isso resulta em:

\(A^t \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16\end{bmatrix}\)

Em seguida, precisamos calcular a matriz \(B + B^t\). Para isso, devemos primeiro encontrar a matriz transposta de \(B\).

Dado \(B = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\), temos:

\(B^t = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 12 & 0\end{bmatrix}\)

Agora, podemos somar \(B\) com \(B^t\):

\( B + B^t = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 12 & 0\end{bmatrix} \)

O resultado é:

\( B + B^t = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 0 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 0\end{bmatrix} \)

Finalmente, devemos calcular \((A^tA) - (B + B^t)\):

\( (A^tA) - (B + B^t) = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 0 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 0\end{bmatrix} \)

O resultado é:

\( \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16\end{bmatrix} \)

Assim, confirmamos que a alternativa correta é a matriz dada no gabarito.