Questão FC188679
Para o sistema de equações lineares AX = B, possível e determinado, fatora-se a matriz A usando a equação PA = LU, onde L e U são matrizes triangulares inferior e superior, respect
Matrizes
CESGRANRIO · 2010
Para o sistema de equações lineares AX = B, possível e determinado, fatora-se a matriz A usando a equação PA = LU, onde L e U são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, e P uma matriz de permutação. Fazendo essa fatoração, a solução em X deste sistema pode ser escrita na forma
- X = (P-1 L)(UB)
- X = (PB)(LU)-1
- X = (LU)-1 (PB)
- X = (LU)(P-1 B)
- X = (L-1 B-1 )(UP)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para a equação do sistema de equações lineares \( AX = B \), onde \( A \) é uma matriz que pode ser fatorada como \( PA = LU \), precisamos encontrar como expressar a solução em \( X \).
Com a fatoração \( PA = LU \), podemos substituir na equação original:
\( PAX = PB \)
Substituindo \( PA \) por \( LU \), obtemos:
\( (LU)X = PB \)
Agora, para isolar \( X \), multiplicamos ambos os lados pela inversa de \( LU \), que é \( (LU)^{-1} \):
\( (LU)^{-1}(LU)X = (LU)^{-1}(PB) \)
O resultado do lado esquerdo simplifica para a matriz identidade \( I \):
\( IX = (LU)^{-1}(PB) \)
Assim, chegamos à expressão:
\( X = (LU)^{-1}(PB) \)
Portanto, a solução em \( X \) do sistema pode ser expressa como:
Resposta correta: \( X = (LU)^{-1}(PB) \)
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