Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1. O valor de det(3A) . det(2B) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Para encontrar o valor de \( det(3A) \cdot det(2B) \), utilizamos a propriedade de determinantes que diz:

Seja \( A \) uma matriz quadrada de ordem \( n \), então:

\( det(k \cdot A) = k^n \cdot det(A) \)

Neste exercício, temos:

• \( A \) é uma matriz de ordem 2, portanto, \( n = 2 \).
• \( B \) é uma matriz de ordem 3, portanto, \( m = 3 \).

Agora, aplicando a propriedade aos determinantes:

\( det(3A) = 3^2 \cdot det(A) \)

\( det(2B) = 2^3 \cdot det(B) \)

Assim, podemos expressar o produto:

\( det(3A) \cdot det(2B) = (3^2 \cdot det(A)) \cdot (2^3 \cdot det(B)) \)

Substituindo as potências:

\( = 9 \cdot det(A) \cdot 8 \cdot det(B) \)

Sabemos que \( det(A) \cdot det(B) = 1 \). Portanto:

\( = 9 \cdot 8 \cdot 1 \)

Calculando:

\( = 72 \)

Assim, confirmamos que o valor de \( det(3A) \cdot det(2B) \) é \( \color{brown}{72} \).

Portanto, a alternativa correta é a **D**.