Qual é o valor do determinante da matriz inversa da transposta de M ?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, vamos analisar a alternativa correta, que apresenta o valor do determinante da matriz inversa da transposta de \(M\).

A matriz dada é:

\(M = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\).

Primeiramente, precisamos calcular a transposta da matriz \(M\), denotada por \(M^T\). A transposta é obtida trocando as linhas por colunas:

\(M^T = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\).

Em seguida, calculamos o determinante de \(M^T\). Para uma matriz \(2 \times 2\) da forma \(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\), o determinante é dado por \(ad - bc\). Assim, temos:

\(Det(M^T) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2.\)

Com o determinante da transposta em mãos, podemos prosseguir para calcular a inversa de \(M^T\). A fórmula para a matriz inversa é:

\(M^{-1} = \frac{1}{Det(M)} \cdot \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}\),

onde \(Det(M)\) é o determinante que calculamos anteriormente.

Assim, a matriz inversa de \(M^T\) será:

\((M^T)^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix}4 & -3 \\ -2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & \frac{3}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}.\)

Agora, vamos calcular o determinante da matriz inversa. Para \(N = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\), o determinante é:

\(Det(N) = ad - bc.\)

Substituindo os valores:

\(Det\left((M^T)^{-1}\right) = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}.\)

Dessa forma, o determinante da matriz inversa da transposta de \(M\) é, portanto, \( -\frac{1}{2} \), o que corresponde à alternativa correta.