Seja A uma matriz quadrada invertível. Considere as matrizes A2 e A3 definidas por A2 = A . A e A3 = A . A . A, onde . indica a operação de multiplicação usual de matrizes. Se det(

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão, vamos analisar a alternativa correta: \(8\).

Começamos pela equação fornecida na questão:

Se \( \text{det}(A^2) - 2 \cdot \text{det}(A) = 0 \), podemos reorganizar essa equação:

\( \text{det}(A^2) = 2 \cdot \text{det}(A) \).

Utilizando a propriedade dos determinantes, sabemos que:

\( \text{det}(A^2) = (\text{det}(A))^2 \).

Substituindo isso na equação, temos:

\( (\text{det}(A))^2 = 2 \cdot \text{det}(A) \).

Colocando tudo em um lado da equação, obtemos:

\( (\text{det}(A))^2 - 2 \cdot \text{det}(A) = 0 \).

Fatorando, temos:

\( \text{det}(A) \cdot (\text{det}(A) - 2) = 0 \).

Isso nos indica que:

\( \text{det}(A) = 0 \) ou \( \text{det}(A) = 2 \).

Como a matriz \( A \) é invertível, a condição \( \text{det}(A) \neq 0 \) nos leva à conclusão de que:

\( \text{det}(A) = 2 \).

Agora podemos calcular \( \text{det}(A^3) \). Usando a propriedade dos determinantes novamente:

\( \text{det}(A^3) = (\text{det}(A))^3 \).

Substituindo o valor que encontramos:

\( \text{det}(A^3) = 2^3 = 8 \).

Dessa forma, a alternativa correta é \(8\).