Se α e β são dois ângulos complementares, então o determinante da matriz \({ \begin{bmatrix} sen( \alpha). cos ( \beta)\,\,1\,\,-1\\sen( \beta). cos( \alpha)2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos calcular o determinante da matriz:

\(\begin{bmatrix} \sin(\alpha) \cos(\beta) & 1 & -1 \\ \sin(\beta) \cos(\alpha) & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}\)

Utilizando a Regra de Sarrus, que é uma técnica prática para o cálculo do determinante de matrizes \(3 \times 3\), podemos seguir os passos a seguir.

Dobramos as duas primeiras colunas e as colocamos ao lado da matriz:

\(<\begin{bmatrix} \sin(\alpha) \cos(\beta) & 1 & -1 \\ \sin(\beta) \cos(\alpha) & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} \sin(\alpha) \cos(\beta) & 1 \\ \sin(\beta) \cos(\alpha) & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}>\)

Agora calculamos os produtos dos termos da diagonal principal e de suas paralelas:

\(= 2 - 4 \sin(\beta) \cos(\alpha) + 4 - 4 \sin(\alpha) \cos(\beta)\)

Assim podemos reorganizar essa expressão:

\(= -4(\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha)) + 6\)

Aqui, é importante notar que temos a soma:

\(\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha) = \sin(\alpha + \beta)\).

Como os ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) são complementares, temos que \(\alpha + \beta = 90°\).

Portanto, substituindo na equação acima:

\(= -4 \sin(90°) + 6\)

E sabendo que \(\sin(90°) = 1\), temos:

\(= -4 + 6\)

Assim, o resultado final é:

\(\color{brown}{2}\)

Portanto, a alternativa correta é a alternativa D.