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Questão FC188691

A matriz \(A_{3 \times 3}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) é tal que \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{1

Determinantes

CESGRANRIO · 2012

A matriz \(A_{3 \times 3}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) é tal que \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \end{bmatrix}\)

 

O determinante da matriz \(A_{3 \times 3}\) é igual a

  1. − 6
  2. 0
  3. 6
  4. 10
  5. 42
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Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta é a que afirma que o determinante da matriz \(A_{3 \times 3}\) é igual a 0.

Para demonstrar isso, podemos utilizar o Teorema de Binet, que estabelece que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada matriz:

\(\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B\)

Nossa questão envolve duas multiplicações de matrizes. Portanto, podemos aplicar o teorema acima nas duas partes:

\(\det \left( A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} 7 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \end{bmatrix} \right)\

A partir disso, podemos reescrever a expressão usando a propriedade do determinante:

\(\det A \cdot \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 7 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \end{bmatrix}\

Agora, precisamos calcular os determinantes das matrizes. Começando pela primeira matriz:

Para \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{bmatrix}\), o determinante é:

\(1 \cdot (4 \cdot 4 - 2 \cdot 5) = 1 \cdot (16 - 10) = 6\)

Seguindo para a matriz \(\begin{bmatrix} 7 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}\), o determinante é:

\(7 \cdot (4 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) = 7(8 - 2) = 42\)

Por fim, a matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \end{bmatrix}\) tem um determinante que, ao ser calculado com a regra de Sarrus, dá zero:

Assim, temos então a seguinte relação:

\(\det A \cdot 6 = 42 \cdot 0\)

Consequentemente, obtemos:

\(\det A \cdot 6 = 0\)

Logo:

\(\det A = \frac{0}{6} = 0\)

Portanto, o determinante da matriz \(A_{3 \times 3}\) é, de fato, 0, confirmando a alternativa correta.

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