Qual é o determinante de (2P).(Q2)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para calcular o determinante da expressão \( \det (2P \cdot Q^2) \), vamos usar algumas propriedades fundamentais dos determinantes.

Sabemos que, pela regra do determinante do produto de duas matrizes, temos:

\( \det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B \)

Assim, aplicando isso na nossa expressão, obtemos:

\( \det (2P \cdot Q^2) = \det (2P) \cdot \det (Q^2) \)

Primeiramente, vamos calcular \( \det (2P) \). A regra para o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar é a seguinte:

\( \det (kA) = k^n \cdot \det A \)

onde \( n \) é a ordem da matriz. Como a matriz \( P \) é de ordem 3, temos:

\( \det (2P) = 2^3 \cdot \det P = 8 \cdot \det P \)

Dado que \( \det P = k \), podemos substituir e ficamos com:

\( \det (2P) = 8k \)

Agora, vamos calcular \( \det (Q^2) \). A propriedade do determinante para produtos diz que:

\( \det (A^2) = \det (A) \cdot \det (A) = (\det A)^2 \)

Portanto, temos:

\( \det (Q^2) = (\det Q)^2 \)

Como sabemos que \( \det Q = k^2 \), concluímos que:

\( \det (Q^2) = (k^2)^2 = k^4 \)

Substituindo esses resultados na expressão do determinante da matriz composta, temos:

\( \det (2P \cdot Q^2) = (8k) \cdot (k^4) \)

Isso simplifica para:

\( \det (2P \cdot Q^2) = 8k^5 \)

Portanto, a alternativa correta é:

8k⁵