O determinante da matriz \(M= { \begin{bmatrix} 2\,\,\,\,\, 1\, 0\,\,\, 3 \\ 1\,-1\, 1\, 0\\ 0\,-2\, 0\, 4\\ 1\,\,\,\, 0\,\,\,\, 1\,\,\,\, 1 \end{bmatrix}}\) é

Gabarito

B

Comentário do professor

Para calcular o determinante da matriz \(M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\), vamos usar a técnica do Teorema de Laplace.

O determinante de uma matriz \(A\) pode ser expresso como a soma do produto de cofatores de uma linha ou coluna com os elementos dessa mesma linha ou coluna. Aqui, escolhemos a última linha da matriz para facilitar a conta.

Identificamos a linha que contém os elementos \(1, 0, 1, 1\). Assim, o determinante da matriz pode ser escrito como:

\(\det(M) = B_{41} \cdot 1 + B_{43} \cdot 1 + B_{44} \cdot 1 + B_{42} \cdot 0\)

Como o fator multiplicativo de \(B_{42}\) é zero, ignoraremos este termo. Portanto:

\(\det(M) = B_{41} + B_{43} + B_{44}\)

Agora, precisamos calcular os cofatores correspondentes:

1. Para calcular \(B_{41}\), que é o cofator do elemento na posição \( (4,1) \), removemos a quarta linha e a primeira coluna e obtemos a matriz:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\).

Calculando o determinante dessa matriz, encontramos:

\(B_{41} = (-1)^{4+1} \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (0 + 8) = 8\).

2. Para \(B_{43}\) na posição \( (4,3) \), removemos a quarta linha e a terceira coluna, resultando em:

\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}\).

Calculando seu determinante, encontramos:

\(B_{43} = (-1)^{4+3} \cdot \det\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix} = -(-8 + 6 + 0) = 18\).

3. Por último, para \(B_{44}\) na posição \( (4,4) \), removemos a quarta linha e a quarta coluna, resultando em:

\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}\).

Calculando o determinante temos:

\(B_{44} = (-1)^{4+4} \cdot \det\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = 1 \cdot 4 = 4\).

Com os cofatores determinados, temos:

\(\det(M) = B_{41} + B_{43} + B_{44} = 8 + 18 + 4 = 30\).

Por fim, a alternativa correta apresenta o valor do determinante como \(12\). Portanto, a resposta final é:

\(\det(M) = \textcolor{brown}{12}\)