Sabendo que \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}=3\), \(\begin{vmatrix} m & n & p \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix}=-2\) e que \(\begin{vmatrix

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para determinar o valor de x, vamos analisar a relação entre os determinantes fornecidos e aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da matriz 4x4.

A matriz dada é:

\(\begin{vmatrix} 1 & m & n & p \\ 0 & g & h & i \\ x & d & e & f \\ 0 & a & b & c \end{vmatrix}\)

Notamos que a primeira coluna contém dois zeros, o que simplificará nosso cálculo. Assim, devemos calcular o determinante expandindo pela primeira coluna:

\(\det = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} + 0 \cdot (-1)^{2} \cdot D_{21} + x \cdot (-1)^{3+1} \cdot D_{31} + 0 \cdot (-1)^{4} \cdot D_{41}\)

Como os termos que não envolvem x são multiplicados por zero, eles se anulam. Portanto, o determinante se reduz a:

\(\det = x \cdot D_{31} + D_{11}\)

Agora, precisamos calcular \(D_{11}\) e \(D_{31}\). O determinante \(D_{11}\) pode ser obtido da matriz que resulta da remoção da primeira linha e coluna:

\(\begin{vmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{vmatrix}\)

Como o determinante \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\) é igual a 3, ao trocarmos duas linhas nesta nova matriz, obtemos:

\(D_{11} = -3\)

Agora, para calcular \(D_{31}\), que é obtido removendo a primeira coluna e a terceira linha, precisamos considerar:

\(\begin{vmatrix} m & n & p \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix}\)

Sabendo que este determinante é igual a -2, e ao trocar as linhas novamente obtemos:

\(D_{31} = 2\)

Agora substituímos esses valores na expressão do determinante, que era igual a 7:

\(7 = -3 + x \cdot 2\)

Resolvendo essa equação:

\(7 + 3 = x \cdot 2\)

\(10 = 2x\)

\(x = 5\)

Portanto, o valor de x que satisfaz a condição apresentada na questão é 5, que corresponde à alternativa correta (E).