Qual o valor de x/y, considerando que o determinante da matriz A, representada acima, é nulo?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão, consideramos a matriz \( A=\begin{bmatrix}2^x & 8^y \\ \left( {\large{1 \over 2}} \right)^{5x} & \left( {\large{1 \over 2}} \right)^y \end{bmatrix} \).

O problema nos pede a condição em que o determinante dessa matriz é nulo, ou seja, \( \det A=0 \). Primeiramente, reescrevemos \( 8^y \) como \( (2^3)^y = 2^{3y} \) e \( \left( \frac{1}{2} \right)^{5x} \) como \( 2^{-5x} \). Dessa forma, a matriz se transforma em:

\( A=\begin{bmatrix}2^x & 2^{3y} \\ 2^{-5x} & 2^{-y} \end{bmatrix} \).

Para calcular o determinante, aplicamos a fórmula:

\( \det A = 2^x \cdot 2^{-y} - 2^{3y} \cdot 2^{-5x} \).

A equalização fica:

\( 2^{x - y} - 2^{3y - 5x} = 0 \).

Para que essa expressão seja verdadeira, devemos ter:

\( 2^{x - y} = 2^{3y - 5x} \).

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

\( x - y = 3y - 5x \).

Rearranjando a equação, obtemos:

\( x + 5x = 3y + y \),

\( 6x = 4y \).

Dividindo ambos os lados por 2, chegamos a:

\( \dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \).

Portanto, a relação entre \( x \) e \( y \) quando o determinante da matriz é nulo é \( \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \), sendo a alternativa correta (C).