Considerando-se um sistema linear \(AX=B\), onde \(A=(a_{ij})_{5,5}\), tal que \(a_{ij}= \cos^2(j \large{\pi \over 6})\) e \(B= \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\), o deter

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que o determinante de \( A \) é nulo e que uma de suas soluções é a trivial.

A matriz \( A \) é construída a partir da relação \( a_{ij} = \cos^2\left(j \frac{\pi}{6}\right) \). Como essa relação depende apenas do índice \( j \), isso implica que todas as linhas da matriz serão idênticas.

Como as linhas de uma matriz são iguais, podemos concluir que o determinante de \( A \) é nulo, ou seja:

\( \det(A) = 0 \)

Com o determinante igual a zero, sabemos que o sistema linear dado por \( AX = B \) não possui uma solução única. Além disso, sempre existe a solução trivial \( (0, 0, 0, 0, 0) \), pois, se substituirmos \( X \) por zero, temos \( AX = 0 \).

Porém, a presença de linhas iguais na matriz também garante que o sistema possui infinitas soluções, já que a equação resultante terá mais variáveis do que equações.

Dessa forma, a afirmação de que o determinante de \( A \) é nulo e que uma solução é a trivial está correta, confirmando a resposta da alternativa D.