Qual o maior valor possível para \(\alpha\)?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A questão proposta envolve um sistema de equações lineares homogêneas e a busca pelo maior valor possível de \(\alpha\) em um contexto de infinitas soluções. Para resolver a questão, devemos considerar a matriz associada ao sistema:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & \alpha & 2 \end{pmatrix}\)

Um sistema linear homogêneo tem como característica fundamental que sempre possui, pelo menos, uma solução: a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero. Para que existam infinitas soluções, o determinante da matriz deve ser igual a zero:

\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & \alpha & 2 \end{vmatrix}=0\)

Calculando o determinante, obtemos:

\(2 \alpha + \alpha + \alpha - \alpha^2 - \alpha - 2 = 0\)

Ao simplificar, chegamos à equação:

\(- \alpha^2 + 3 \alpha - 2 = 0\

Reorganizando essa equação, temos:

\(\alpha^2 - 3 \alpha + 2 = 0\)

Agora, podemos fatorar essa equação:

\((\alpha - 1)(\alpha - 2) = 0\)

Do resultado da fatoração, obtemos as soluções:

\(\alpha = 1 \, \text{ ou } \, \alpha = 2\)

Dessa forma, o maior valor possível para \(\alpha\) que mantém o sistema com infinitas soluções é:

\( \boxed{2} \)

Assim, a alternativa correta é a letra C, que indica o maior valor de \(\alpha\) que garante a condição exigida pelo enunciado do problema.