Quantos são os valores do parâmetro a que levam o sistema a possuir infinitas soluções?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para que o sistema de equação linear tenha infinitas soluções, é necessário que as equações sejam dependentes e compatíveis. Isso ocorre quando o determinante da matriz associada ao sistema é zero.

A matriz do sistema é dada por:

\( \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \)

O determinante dessa matriz pode ser calculado como:

\( \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a \cdot a - 1 \cdot 1 = a^2 - 1 \)

Para que o sistema tenha infinitas soluções, devemos igualar o determinante a zero:

\( a^2 - 1 = 0 \)

Resolvendo essa equação, temos:

\( a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1 \)

Isso nos dá dois valores possíveis para \( a \): \( 1 \) e \( -1 \).

Porém, é importante analisar cada caso para verificar quais levam de fato a um sistema com â infinitas soluções.

Para \( a = 1 \), o sistema se torna:

\( \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = -1 \end{cases} \)

Essas duas equações são incompatíveis, pois \( x + y \) não pode ser igual a \( 1 \) e \( -1 \) ao mesmo tempo.

Agora, analisando o caso \( a = -1 \), o sistema se transforma em:

\( \begin{cases} -x + y = 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \)

Após simplificação, percebemos que as duas equações se tornam dependentes e, portanto, possuem infinitas soluções.

Em resumo, apenas o valor \( a = -1 \) resulta em um sistema de equações que admite infinitas soluções, enquanto \( a = 1 \) não gera nenhuma solução.

Dessa forma, concluímos que há apenas um valor de \( a \) que leva o sistema a ter infinitas soluções.

Logo, a alternativa correta é a alternativa B.