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Questão FC188710

O sistema linear \(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z=D_1\\A_2x+B_2y+C_2z=D_2\\A_3x+B_3y+C_3z=D_3\end{cases}\) pode ser escrito no formato AX = B, onde \(A=\begin{bmatrix} A_1&B_1&C_1\\A

Sistemas Lineares

CESGRANRIO · 2014

O sistema linear \(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z=D_1\\A_2x+B_2y+C_2z=D_2\\A_3x+B_3y+C_3z=D_3\end{cases}\) pode ser escrito no formato AX = B, onde \(A=\begin{bmatrix} A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_3&B_3&C_3 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\, e \, B=\begin{bmatrix}D_1\\D_2\\D_3 \end{bmatrix}\). O método de Cramer para resolver sistemas lineares considera, além do determinante de A, os determinantes das matrizes \(A_x = A=\begin{bmatrix} D_1&B_1&C_1\\D_2&B_2&C_2\\D_3&B_3C_3 \end{bmatrix}, A_y = A=\begin{bmatrix} A_1&D_1&C_1\\A_2&D_2&C_2\\A_3&D_3C_3 \end{bmatrix} \, e\, A_z = A=\begin{bmatrix} A_1&B_1&D_1\\A_2&B_2&D_2\\A_3&B_3D_3 \end{bmatrix}\)

 

Para que o sistema acima não admita solução, deve-se ter, necessariamente,

  1. det A = 0
  2. det Ax = 0
  3. det Ax = det Ay = det Az
  4. det Ax + det Ay + det Az = 0
  5. det A = det Ax = det Ay = det Az
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para que o sistema linear dado não admita solução, é essencial que o determinante da matriz dos coeficientes, \( \text{det}(A) \), seja igual a zero.

O determinante \( \text{det}(A) \) possui um papel fundamental na análise de sistemas lineares. Em particular, quando \( \text{det}(A) = 0 \), isso indica que os vetores coluna da matriz \( A \) são linearmente dependentes. Tal situação sugere que o sistema pode ser inconsistente, resultando em uma impossibilidade de encontrar soluções. Porém, uma condição importante a se lembrar é que \( \text{det}(A) = 0 \) não garante automaticamente que o sistema é impossível; ele está, na verdade, indicando que precisamos investigar mais a fundo para descobrir a natureza do sistema.

Quando \( \text{det}(A) = 0 \), podemos ter duas possibilidades:

  • O sistema pode ser indeterminado (com infinitas soluções), se os determinantes \( A_x, A_y, A_z \) calculados a partir das substituições também forem iguais a zero.
  • Ou, por outro lado, o sistema pode ser impossível se pelo menos um dos determinantes \( A_x, A_y, A_z \) for diferente de zero.

Assim, a condição para que o sistema não admita solução, de fato, é a igualdade do determinante da matriz dos coeficientes a zero, o que nos leva à alternativa correta:

Letra A

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