Considere o sistema formado pelas equações: \(\begin{cases} x-2y+z=0 \\ x+y-3z=0 \\ 2x-y-2z=0 \end{cases}\) O conjunto solução do sistema é

Gabarito

B

Comentário do professor

O conjunto solução do sistema formado pelas equações propostas é uma reta. Isso ocorre porque, ao resolver o sistema, encontramos uma relação linear entre as variáveis \(x\), \(y\) e \(z\).

Ao isolar uma das variáveis, observamos que podemos expressar \(x\) em termos de \(y\) e \(z\). Por exemplo, a partir da primeira equação:

\(x = 2y - z\)

Adicionando essa relação nas outras equações, conseguimos simplificar o sistema e reduzir o número de variáveis, levando a expressões que são interdependentes. O resultado final nos proporciona uma relação do tipo:

\(y = \lambda\)

\(z = \frac{3\lambda}{4}\)

\(x = \frac{5\lambda}{4}\)

Aqui, \(\lambda\) pode assumir qualquer valor real, permitindo que as soluções do sistema formem uma reta no espaço tridimensional. Portanto, podemos concluir que a solução apresenta-se na forma:

\(r = \left(\frac{5\lambda}{4}, \lambda, \frac{3\lambda}{4}\right)\)

Em resumo, as soluções do sistema estabelecem uma reta, revelando que, para cada valor de \(\lambda\), existe uma solução correspondente para \(x\), \(y\) e \(z\). Assim, a afirmação da alternativa correta (B) está confirmada.