Um sistema linear de três equações e três incógnitas foi reescrito em sua forma matricial, [A]3x3 \(\cdot\) [X]3x1 = [B]3x1. A matriz dos coeficientes [A]3x3 é dada por [A]3x3 = \(

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para que um sistema linear de três equações e três incógnitas seja possível e determinado, é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes \([A]\) seja diferente de zero.

Consideramos a matriz feita em relação ao sistema:

\([A] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\)

Para encontrar o determinante, utilizamos a seguinte expressão:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)

Calculando o determinante por meio da regra de Sarrus ou pelo método da co-fatoração, seguimos com os passos necessários:

\(=(1 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot k \cdot 0) + (3 \cdot (-1) \cdot 1) - (3 \cdot 0 \cdot 0) - (k \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot 2 \cdot (-1))\)

Após simplificar, obtemos:

\(-3 - k + 4 \ne 0\)

Isso resulta em:

\(1 - k \ne 0\)

Portanto, para que o determinante seja diferente de zero, temos:

\(k \ne 1\)

Dessa forma, concluímos que a condição para o sistema ser possível e determinado é que \(k\) não seja igual a 1, validando assim a alternativa correta.