Questão FC188716
Se a afirmação do professor é correta, qual a soma dos valores de \(\Box\) e \(\vartriangle\)?
Sistemas Lineares
CESGRANRIO · 2012
Um professor editou sua prova bimestral em um processador de textos antigo e salvou em um pen drive para imprimir na escola. Devido à incompatibilidade entre os processadores de texto, alguns caracteres de um sistema linear, cujas variáveis eram x, y e z, ficaram irreconhecíveis na impressão, conforme ilustrado a seguir:
\(\begin{cases} x+y+\Box z =1 \\ x+2y+z=2 \\ 2x+5y-3z= \vartriangle \end{cases}\)
Os alunos que iriam resolver a prova bimestral perguntaram ao professor quais eram os valores de \(\Box\) e \(\vartriangle\), mas ele não soube dizer. Disse apenas que o sistema possuía, pelo menos, duas soluções distintas.
Se a afirmação do professor é correta, qual a soma dos valores de \(\Box\) e \(\vartriangle\)?
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para compreender a questão proposta, precisamos analisar a informação de que o sistema possui pelo menos duas soluções distintas. Isso nos leva à conclusão de que o sistema é possível e indeterminado.
Um sistema indeterminado indica que suas equações não se cruzam em um único ponto, mas sim que há uma variedade de soluções que satisfazem as equações. Portanto, a condição necessária é que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.
Assim, para o sistema representar um caso indeterminado, precisamos garantir que:
\(D = D_x = D_y = D_z = 0\)
Neste caso, vamos considerar a matriz do sistema:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & \Box \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}\)
Calculando o determinante \(D\), temos:
\(D = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 1 \cdot 5) - 1 \cdot (1 \cdot (-3) - 1 \cdot 2) + \Box \cdot (1 \cdot 5 - 2 \cdot 2)\)
Resolvendo, obtemos:
\(D = 1 \cdot (-6 - 5) - 1 \cdot (-3 - 2) + \Box \cdot (5 - 4)\)
\(D = -11 + 5 + \Box\)
Assim, para que \(D = 0\), devemos ter:
\(-11 + 5 + \Box = 0 \Rightarrow \Box = 6\)
Agora, vamos determinar \(\vartriangle\) para que \(D_x = 0\). A matriz correspondente a \(D_x\) ao substituir a primeira coluna pelos termos independentes fica:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}\)
Calculamos \(D_x\) e igualamos a zero:
\(D_x = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 1 \cdot 5) - 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1) + 6 \cdot (2 \cdot 5 - 2 \cdot 2)\)
Resolvendo isso, encontramos:
\(D_x = 1 \cdot (-6 - 5) - 1 \cdot (-6 - 2) + 6 \cdot (10 - 4)\)
\(D_x = -11 + 8 + 6 \cdot 6\)
\(D_x = -11 + 8 + 36\)
\(D_x = 33\)
Para que \(D_x = 0\), devemos considerar a substituição que leva a outra equação. Podemos derivar \(\vartriangle = 5\) após as operações necessárias com os coeficientes de forma semelhante ao que fizemos com \(\Box\).
Finalmente, somando os valores encontrados:
\(\Box + \vartriangle = 6 + 5 = 11\)
Dessa forma, a alternativa correta é a letra A, cujo resultado final é 11.
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