Para que o sistema linear \(\begin {cases} x \, - \, 2y \, + \, 3z \, = \, 4 \\ -2x \, + \, 7y \, = \, -1 \\ x \, + \, y \, + \, 9z \, = \, k \end {cases}\) seja impossível, o valo

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que o sistema linear seja impossível, devemos considerar as condições impostas pelos determinantes dos coeficientes das equações.

Neste caso, o determinante principal \(D\) deve ser igual a 0 e os determinantes das matrizes formadas ao substituir as colunas dos coeficientes por termos independentes devem ser diferentes de 0.

Focando no valor de \(k\), precisamos determinar quando a impossibilidade do sistema ocorre. Uma vez que o determinante principal é zero, podemos escolher uma das colunas para obter os outros determinantes, substituindo os termos independentes da matriz dos coeficientes.

Considerando a primeira coluna e substituindo os termos por \(4\), \(-1\) e \(k\), temos:

\(D_x = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 3 \\ -1 & 7 & 0 \\ k & 1 & 9 \end{vmatrix}\)

Resolvendo esse determinante, chegamos à expressão:

\(252 - 3 - 21k - 18 \ne 0\)

Simplificando, encontramos que:

\(21k \ne 231\)

Assim, isso nos leva a concluir que:

\(k \ne 11\)

Portanto, o valor de \(k\) deve ser diferente de 11 para que o sistema seja considerado impossível.