Para que o sistema linear \(\begin {cases} 3x \, - \, 12y \, = \, 27 \\ 9x \, - \, 36 \, y \, = \, k \end {cases}\) seja impossível, é necessário que

Gabarito

Errado

Comentário do professor

O objetivo é entender em que condições o sistema linear

\(\begin {cases} 3x \, - \, 12y \, = \, 27 \\ 9x \, - \, 36 \, y \, = \, k \end {cases}\)

se torna impossível. O que significa que não há solução para o sistema.

Primeiro, observamos que a primeira equação pode ser multiplicada por 3 para se alinhar com a segunda, resultando na forma:

\(9x - 36y = 81\)

Agora, com isso, podemos reescrever o sistema como:

\(\begin {cases} 9x - 36y = 81 \\ 9x - 36y = k \end {cases}\)

Para o sistema ser impossível, as duas equações precisam ser paralelas, mas não coincidir. Isso quer dizer que, se as duas equações tiverem o mesmo coeficiente diante de \(x\) e \(y\), elas representam a mesma reta apenas quando os termos independentes são iguais.

Daí, temos:

\(81 \ne k\)

Logo, se \(k \ne 81\), as retas são paralelas e, consequentemente, não se encontram em nenhum ponto. Portanto, não há solução, o que caracteriza um sistema impossível.

Por fim, a alternativa correta, k \(\ne\) 81, indica que para que o sistema seja impossível, \(k\) deve ser diferente de 81, formando assim um sistema que não tem solução.