Nas duas equações mostradas a seguir, x e y são variáveis e a e b são constantes. \(\large { y-a \over 2} + {y - x \over 5} + { y \over 4} = 0\)e \(\large {x -b \over 2} + { x - y

Gabarito

D

Comentário do professor

Na questão apresentada, temos duas equações que envolvem variáveis \(x\) e \(y\) e constantes \(a\) e \(b\). O objetivo é compactá-las em uma equação matricial da forma \(M \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\), onde \(M\) é a matriz que procuramos.

A alternativa correta é a matriz:

\(M = \begin{bmatrix} -0,4 & 1,9 \\ 1,9 & -0,4 \end{bmatrix}\)

Para entender por que esta alternativa é a correta, vamos seguir o processo de derivação das equações a partir das equações dadas:

Primeiro, multiplicamos cada uma das equações por 20, que é o mínimo múltiplo comum dos denominadores, para eliminar as frações:

\(10(y-a) + 4(y-x) + 5y = 0\)

Essa equação, após simplificação, resulta em:

\(-4x + 19y = 10a\)

Da mesma forma, a segunda equação:

\(10(x-b) + 4(x-y) + 5x = 0\)

ao ser simplificada, resulta em:

\(19x - 4y = 10b\)

Assim, temos o sistema:

\(\begin{cases} -4x + 19y = 10a \\ 19x - 4y = 10b \end{cases}\)

Dividindo ambas as equações por 10, chegamos a:

\(\begin{cases} -0,4x + 1,9y = a \\ 1,9x - 0,4y = b \end{cases}\)

Agora, podemos reescrever esse sistema na forma matricial desejada, que é:

\(\begin{bmatrix} -0,4 & 1,9 \\ 1,9 & -0,4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\)

Desta forma, confirmamos que a matriz \(M\) indicada na alternativa D é correta, pois corresponde exatamente à forma necessária para expressar o sistema de equações dado.