Com relação ao sistema de variáveis reais x e y, \(\begin{cases}mx+y=3 \\ x-y=n \end{cases}\) , no qual m e n são números reais, tem-se que

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (B): não tem solução se \(m = -1\) e \(n \ne -3\).

Para entender por que essa é a afirmativa correta, devemos considerar as equações do sistema:

\(\begin{cases} mx + y = 3 \\ x - y = n \end{cases}\)

O primeiro passo é perceber que o valor de \(m\) impacta diretamente na formação das retas correspondentes a essas equações. Quando consideramos \(m = -1\), a primeira equação se torna:

\(-x + y = 3\) (ou seja, \(y = x + 3\))

A segunda equação, \(x - y = n\), pode ser reformulada como:

\(y = x - n\)

Com \(m = -1\), temos duas retas:

1) \(y = x + 3\) e 2) \(y = x - n\)

Agora, para que não haja solução, essas retas precisam ser paralelas, o que ocorre quando têm o mesmo coeficiente angular (nesse caso, ambos são 1). Então, a condição para que as retas sejam paralelas—e não se cruzem, ou seja, não tenham soluções—envolve o valor de \(n\).

Para que essas retas não se intersectem, os termos independente devem ser diferentes. Assim:

1) \(3 \ne -n\) (ou, equivalentemente, \(n \ne -3\))

Deste modo, podemos afirmar que, se \(m = -1\) e \(n \ne -3\), as duas equações representam retas paralelas que nunca se cruzam, resultando em nenhuma solução para o sistema.

Portanto, a alternativa B é correta: o sistema não terá solução dada a condição mencionada.