Para que o sistema linear \(\begin{cases} x + 2y - 5z = -7 \\ -2x + y - 2z = 8 \\ -x + 3y - 7z = A \end{cases}\) seja possível e indeterminado, devemos ter A igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Para que o sistema linear apresentado seja possível e indeterminado, precisamos que o valor de \( A \) seja igual a 1. Vamos explorar o porquê dessa condição.

Um sistema de equações lineares é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções. Para que isso ocorra, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero, ou seja, \( D = 0 \). Dessa forma, ao substituir os coeficientes de uma das variáveis pelos termos independentes do sistema, a nova matriz também deve resultar em um determinante igual a zero.

No nosso caso, vamos considerar a matriz original:

\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & -7 \end{vmatrix} \)

Esse determinante, ao ser calculado, resultou em zero – confirmando que o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Assim, precisamos agora verificar os valores de \( A \) que tornariam o sistema possível e indeterminado.

Ao substituir os coeficientes de \( x \) pelo valor dos termos independentes, montamos uma nova matriz:

\( D_x = \begin{vmatrix} -7 & 2 & -5 \\ 8 & 1 & -2 \\ A & 3 & -7 \end{vmatrix} = 0 \)

O cálculo desse determinante nos leva a uma equação. Resolvendo-a, encontramos que para \( A \) igual a 1, o determinante resulta em zero, confirmando que o sistema é possível e indeterminado.

Portanto, a condição necessária e suficiente que garante que o sistema apresentado tenha infinitas soluções é o valor de \( A \) ser igual a 1, que corresponde à alternativa D.