Considere o sistema a seguir. \(\begin{cases} x + 5y + z = 0 \\ 4x + y - 2z = 1 \\ 7x + 3y - 4z = -1 \end{cases}\) Nesse sistema, o valor de \(x\) é

Gabarito

B

Comentário do professor

O valor de \( x \) encontrado para o sistema de equações é \( 2 \), conforme indicado na alternativa correta.

Para resolver o sistema:

\(\begin{cases} x + 5y + z = 0 \\ 4x + y - 2z = 1 \\ 7x + 3y - 4z = -1 \end{cases}\)

Podemos manipular as equações para encontrar o valor de \( x \). Um bom início é trabalhar com a segunda e a terceira equação.

Multiplicando a segunda equação por \(-2\), obtemos:

\( -8x - 2y + 4z = -2 \)

Somando este resultado com a terceira equação:

\(\begin{array}{r} -8x - 2y + 4z = -2 \\ + \, 7x + 3y - 4z = -1 \\ \hline -x + y = -3 \end{array}\)

Com isso, podemos expressar \( y \) em termos de \( x \):

\(\boxed{y = x - 3}\)

Em seguida, substituímos \( y \) na primeira equação:

\( x + 5(x - 3) + z = 0 \)

Resolvendo esta equação, temos:

\( x + 5x - 15 + z = 0 \)

Ou seja:

\( 6x + z = 15 \)

Logo, podemos expressar \( z \) em função de \( x \):

\(\boxed{z = 15 - 6x}\)

Agora substituímos \( y \) e \( z \) na segunda equação para encontrar \( x \):

\( 4x + (x - 3) - 2(15 - 6x) = 1 \)

Resolvendo esta expressão, obtemos:

\( 4x + x - 3 - 30 + 12x = 1 \)

Juntando os termos semelhantes:

\( 17x - 33 = 1 \)

Assim:

\( 17x = 34 \)

Por fim, temos:

\( x = 2 \)

Deste modo, o valor de \( x \) encontrado no sistema é, de fato, \( 2 \), corroborando a alternativa correta. Portanto, a solução está validada!