Se o sistema linear \(\begin{cases} 3\text{x} - 6\text{y} = \text{a} \\ -\text{x} + \text{by} = 1 \end{cases}\) possui infinitas soluções reais, o produto ab é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Primeiramente, devemos entender que o sistema linear apresentado possui infinitas soluções quando suas duas equações são proporcionais. Isso significa que uma equação pode ser obtida pela multiplicação da outra por uma constante.

Ao analisarmos o sistema:

\( \begin{cases} 3x - 6y = a \\ -x + by = 1 \end{cases} \)

Nosso objetivo é determinar os valores de \(a\) e \(b\) que garantem que as duas equações sejam equivalentes. Para isso, podemos manipular a segunda equação.

Vamos multiplicar a segunda equação por \(-3\), assim teremos:

\( 3x - 3by = -3 \)

Agora, podemos comparar essa forma com a primeira equação:

\( \begin{cases} 3x - 6y = a \\ 3x - 3by = -3 \end{cases} \)

Dois elementos da primeira equação e da nova segunda equação devem ser iguais:

1. Para \(3x\), temos equivalência em ambas as equações.

2. Para os coeficientes de \(y\), devemos ter a condição:

\(-6 = -3b\)

A partir disso, isolando \(b\), conseguimos:

\( b = 2 \)

Além disso, devemos igualar os termos constantes: \(\,a = -3\).

Agora, calculamos o produto \(ab\):

\( ab = (-3) \times 2 \)

Portanto, o resultado é:

\( ab = -6 \)

Concluindo, o produto \(ab\) é igual a \(-6\), que reafirma a alternativa correta. Essa solução é um excelente exemplo de como manipular sistemas lineares e identificar suas características de proporcionalidade.