Sejam z e w números complexos em que z² - w² = 7 + i. Se a diferença entre os conjugados de z e w é dada pelo complexo 1 + 2i, o complexo \(\overset{–} {z}\) + \(\overset{–} {w}\)

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão, começamos a partir da equação fornecida:

\(z^2 - w^2 = 7 + i\)

Reconhecemos que a diferença de quadrados pode ser reescrita como:

\((z + w)(z - w) = 7 + i \

A próxima informação que precisamos considerar é a diferença entre os conjugados de \(z\) e \(w\), que é dada por:

\(\overline{z} - \overline{w} = 1 + 2i \

Aplicando o conjugado na diferença dos produtos, temos:

\(\overline{(z + w)(z - w)} = \overline{7 + i} = 7 - i \

O que resulta nas equações:

\(\overline{z + w} \cdot \overline{z - w} = 7 - i \

Dividindo \(7 - i\) por \(\overline{z - w}\), obtemos:

\(\overline{z + w} = \frac{7 - i}{\overline{z - w}} \

Sabemos que \( \overline{z - w} = - (1 + 2i) = -1 - 2i\) substituímos esta nova interpretação:

\(\overline{z + w} = \frac{7 - i}{-1 - 2i} \

Agora, multiplicamos numerador e denominador por \( -1 + 2i\) para eliminar a parte imaginária do denominador:

\(\overline{z + w} = \frac{(7 - i)(-1 + 2i)}{(-1 - 2i)(-1 + 2i)} \

Calculando o denominador:

\((-1)^2 - (2i)^2 = 1 + 4 = 5 \

E para o numerador:

\(-7 + 14i + i + 2 = -5 + 15i \

Assim, podemos reescrever:

\(\overline{z + w} = \frac{-5 + 15i}{5} = -1 + 3i \

Portanto, temos que:

\(\overline{z + w} = -1 + 3i \

Por fim, o que precisamos é \( \overset{–}{z} + \overset{–}{w} = \overline{z + w} = 1 - 3i\), que é exatamente a alternativa correta.