Questão FC188740
Se i é a unidade imaginária, qual o valor de ln(i)?
Números Complexos
CESGRANRIO · 2018
A função logaritmo natural, definida nos complexos, é dita plurívoca, pois, para cada complexo z, LN(z) assume diversos valores complexos. Se, por outro lado, restringem-se os valores dos argumentos de z no intervalo de \(- \pi\) a \(\pi\), tem-se a função ln(z) chamada logaritmo principal do complexo z, com argumento no intervalo restrito.
Se i é a unidade imaginária, qual o valor de ln(i)?
- i
- \(- \pi\)
- \(i \pi\)
- \(i { \large \pi \over 2}\)
- \({ \large \pi \over 2}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Para encontrar o valor de \( \ln(i) \), devemos utilizar a equação de Euler, que afirma que:
\( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \)
Sabemos que o número imaginário \( i \) pode ser representado na forma exponencial quando consideramos o argumento \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Substituindo \( \theta \) na equação de Euler, obtemos:
\( e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
Agora, sabemos que:
- \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
- \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
Portanto:
\( e^{i \frac{\pi}{2}} = 0 + i = i \)
Dessa forma, podemos aplicar o logaritmo natural:
\( \ln\left(e^{i \frac{\pi}{2}}\right) = \ln(i) \)
Por propriedades dos logaritmos, temos que:
\( \ln(i) = i \frac{\pi}{2} \cancelto{1}{\ln(e)} \)
Assim, concluímos que:
\( \ln(i) = i \frac{\pi}{2} \)
Logo, a alternativa correta para o valor de \( \ln(i) \) é:
D) \( i \frac{\pi}{2} \)
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