O módulo \(ρ\) e o argumento principal \(θ\), \(- \pi\) ≤ \(θ\) ≤ \(\pi\), do complexo z = \(2^{(1+i)}\), são de tal modo que o produto \(ρθ\) vale

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para resolver a questão, começamos analisando o número complexo \( z = 2^{(1+i)} \). Este número pode ser reescrito em termos de suas partes real e imaginária.

Usando a propriedade da exponenciação, temos:

\( z = 2^1 \cdot 2^i \)

A parte \( 2^1 \) é simplesmente 2, enquanto a parte \( 2^i \) pode ser escrita utilizando a forma exponencial:

\( 2^i = e^{i \ln 2} \)

Assim, podemos expressar \( z \) como:

\( z = 2 \cdot e^{i \ln 2} \)

Dessa forma, podemos identificar o módulo \( \rho \) e o argumento \( \theta \) do número complexo \( z \):

O módulo \( \rho \) é o coeficiente real, que corresponde a \( 2 \), e o argumento \( \theta \) é o expoente aplicado à parte imaginária, que é \( \ln 2 \).

Portanto, temos:

\( \rho = 2 \)

\( \theta = \ln 2 \)

Para calcular o produto \( \rho \theta \), multiplicamos os valores encontrados:

\( \rho \theta = 2 \cdot \ln 2 \)

Isso pode ser reescrito como:

\( \rho \theta = \ln(2^2) \)

Assim, chegamos à conclusão de que:

\( \rho \theta = \ln 4 \)

Portanto, a alternativa correta é a que afirma que o produto \( \rho \theta \) vale LN 4.