Considere Z e W dois números complexos, tais que Z = cis (\(\pi\)/6) e W = k.cis (\(\pi\)/3), com k um número real. Considere a expressão [\(Z^2\). W]\(^n\), em que n é um número n

Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar o menor valor de \( n \) que faz com que a expressão \([Z^2 \cdot W]^n\) resulte em um número real, vamos começar detalhando a estrutura da expressão.

Temos os números complexos:

\( Z = \text{cis} \left(\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{e} \quad W = k \cdot \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \)

Ao elevar \( Z \) ao quadrado, aplicamos a regra da multiplicação dos ângulos:

\( Z^2 = \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \)

Agora, a multiplicação de \( Z^2 \) por \( W \) nos dá:

\( Z^2 \cdot W = k \cdot \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) = k \cdot \text{cis} \left(\frac{2\pi}{3}\right) \)

A expressão completa é:

\( [Z^2 \cdot W]^n = [k \cdot \text{cis} \left(\frac{2\pi}{3}\right)]^n = k^n \cdot \text{cis} \left(\frac{2n\pi}{3}\right) \)

Para que essa expressão seja um número real, o argumento deve ser um múltiplo de \( \pi \). Assim, precisamos resolver a condição:

\( \frac{2n\pi}{3} = m\pi \quad (m \in \mathbb{Z}) \)

Isso nos leva à seguinte equivalência:

\( \frac{2n}{3} = m \Rightarrow 2n = 3m \Rightarrow n = \frac{3m}{2} \)

Para \( n \) ser um número natural, \( m \) deve ser par, ou seja, \( m = 2k \) para algum \( k \in \mathbb{Z} \). Substituindo isso, obtemos:

\( n = \frac{3(2k)}{2} = 3k \)

O menor valor possível de \( k \) é 1, o que nos dá:

\( n = 3 \)

Dessa forma, concluímos que o menor valor de \( n \) para que \([Z^2 \cdot W]^n\) resulte em um número real é 3.

Portanto, o gabarito é: