Quanto vale o módulo do complexo \(\frac{60-25i}{3+4i}\)?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para encontrar o módulo do número complexo \(\frac{60-25i}{3+4i}\), é essencial simplificá-lo primeiro. Vamos realizar isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

O conjugado de \(3 + 4i\) é \(3 - 4i\). Assim, a expressão se transforma em:

\(\dfrac{(60-25i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}\)

A multiplicação do denominador resulta em \(3^2 - (4i)^2 = 9 + 16 = 25\). Vamos agora trabalhar no numerador, onde aplicaremos a distributiva:

\((60 \cdot 3) + (60 \cdot -4i) + (-25i \cdot 3) + (-25i \cdot -4i)\)

\(= 180 - 240i - 75i + 100i^2\)

Sabendo que \(i^2 = -1\), substituímos para obter:

\(= 180 - 315i - 100 = 80 - 315i\)

Portanto, a fração se torna:

\(\dfrac{80-315i}{25}\)

Agora, podemos escrever este número complexo como:

\(\dfrac{80}{25} - \dfrac{315}{25}i = \dfrac{16}{5} - \dfrac{63}{5}i\)

Com o número complexo simplificado, podemos agora encontrar seu módulo:

\(\rho = \sqrt{\left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(-\frac{63}{5}\right)^2}\)

Calculando cada parte isoladamente:

\(\left(\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{256}{25}\) e \(\left(-\frac{63}{5}\right)^2 = \frac{3969}{25}\)

Somando os resultados:

\(\rho = \sqrt{\frac{256}{25} + \frac{3969}{25}} = \sqrt{\frac{4225}{25}} = \sqrt{169} = 13\)

Assim, o módulo do número complexo \(\frac{60-25i}{3+4i}\) é \(13\), o que confirma a alternativa correta (C).