Nessa situação, quanto vale θ ?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para determinar o argumento \( \theta \) do número complexo \( z = \frac {(7+7i)^{74}} {(\sqrt {3} + i)^{13}} \), primeiro precisamos analisar tanto o numerador quanto o denominador separadamente.

No numerador, temos \( 7 + 7i \). Podemos calcular seu argumento:

Módulo: \( \rho = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2} \)

Argumento: Como este número está no primeiro quadrante, podemos usar: \( \tan(\theta) = \frac{b}{a} = \frac{7}{7} = 1 \) Portanto, \( \theta = \frac{\pi}{4} \) radianos.

Como estamos elevando isso a 74, o novo argumento será:

\( 74 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{74\pi}{4} = \frac{37\pi}{2} \)

Observando que \( \frac{37\pi}{2} \) equivale a 9 voltas completas (18π/2) mais um pedaço de volta: \( \frac{37\pi}{2} - 18\pi = \frac{\pi}{2} \).

Agora vamos para o denominador \( \sqrt{3} + i \).

Módulo: \( \rho = \sqrt{3^2 + 1^2} = 2 \)

Argumento: \( \tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Logo, \( \theta = \frac{\pi}{6} \) radianos.

Ao elevar esse termo a 13, temos:

\( 13 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \).

Esse valor se simplifica em relação a \( 2\pi \) para obtermos o argumento efetivo. Ele se reencontra a \( \frac{\pi}{6} \).

Agora, somamos os argumentos do numerador e do denominador:

\( \text{Argumento de } z = \frac{37\pi}{2} - \frac{13\pi}{6} \).

Para realizar essa subtração, devemos igualar os denominadores:

\( \frac{37\pi}{2} \) se torna \( \frac{111\pi}{6} \) e assim:

\( \frac{111\pi}{6} - \frac{13\pi}{6} = \frac{98\pi}{6} = \frac{49\pi}{3} \).

O \( z \) resultante tem seu argumento final igual a \( \frac{49\pi}{3} \), que, ao simplificarmos em um ciclo completo, equivale a \( \frac{\pi}{3} \).

Assim, o valor do argumento \( \theta \) do número complexo \( z \) é \( \frac{\pi}{3} \).