Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo \(z = 2+3i\). Fazendo-se uma rotação desta imagem, em torno da origem, de 60º no sentido trigonométrico, obtém-se a im

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta apresentada: \(\left( 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{3}{2} + \sqrt{3} \right)i\).

Partimos do número complexo \(z = 2 + 3i\). Ao representá-lo no plano de Argand-Gauss, percebemos que temos:

• A parte real: 2
• A parte imaginária: 3

Realizamos uma rotação de 60º no sentido trigonométrico (anti-horário). Para isso, utilizamos a fórmula da rotação de um ponto no plano complexo:

\(A' = \rho \left[ \cos(\theta + 60^\circ) + i \sin(\theta + 60^\circ) \right]\)

Antes de prosseguir, precisamos calcular a parte real e imaginária após a rotação. O módulo \(\rho\) do vetor \(z\) é dado por:

\(\rho = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\)

Agora, calculamos o novo argumento:

O argumento \(\theta\) inicial não é conhecido exatamente, mas a rotação implica somar \(60^\circ\) ao argumento original. Usamos as identidades trigonométricas:

• \(\cos(\theta + 60^\circ) = \cos\theta \cos 60^\circ - \sin\theta \sin 60^\circ\)
• \(\sin(\theta + 60^\circ) = \sin\theta \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \cos\theta\)

Substituindo os valores:

Para \(\cos(\theta + 60^\circ)\):

\(\cos(\theta + 60^\circ) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{13}} - \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\)

Para \(\sin(\theta + 60^\circ)\):

\(\sin(\theta + 60^\circ) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{3}{2\sqrt{13}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)

Substituindo os valores de \(\cos\) e \(\sin\) na equação do novo ponto \(A'\):

\(A' = \sqrt{13} \left[ \left( \frac{1}{\sqrt{13}} - \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} \right) + i \left( \frac{3}{2\sqrt{13}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \right) \right]\)

Por fim, multiplicamos \(\sqrt{13}\) e simplificamos:

\(A' = \left( 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) + i \left( \frac{3}{2} + \sqrt{3} \right)\)

Assim, confirmamos que a forma correta do número complexo após a rotação é a expressa na alternativa correta.