Os números complexos z1, z2 e z3 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e são tais que z1 + z2 + z3 = 6 + 9i, onde i representa a unidade imaginária. Sendo assim, (z2)2 é i

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta: \(-5 + 12i\).

Sabemos que os números complexos \( z_1 \), \( z_2 \) e \( z_3 \) estão em progressão aritmética (PA). Nesse caso, o termo central, \( z_2 \), é a média dos extremos, ou seja:

\( z_2 = \frac{z_1 + z_3}{2} \)

Sabendo ainda que a soma dos três números complexos é:

\( z_1 + z_2 + z_3 = 6 + 9i \)

Podemos substituir \( z_1 + z_3 \) na equação anterior:

\( 2z_2 + z_2 = 6 + 9i \)

Isso simplifica para:

\( 3z_2 = 6 + 9i \)

Portanto, isolando \( z_2 \):

\( z_2 = \frac{6 + 9i}{3} = 2 + 3i \)

Agora, queremos calcular \( (z_2)^2 \):

\( (2 + 3i)^2 \)

Utilizando a fórmula do quadrado da soma:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Temos então:

\( (2)^2 + 2(2)(3i) + (3i)^2 \)

Calculando cada termo:

\( 4 + 12i + 9i^2 \)

Como \( i^2 = -1 \), substituímos:

\( 4 + 12i + 9(-1) \)

Resultado final:

\( 4 + 12i - 9 = -5 + 12i \)

Assim, confirmamos que \( (z_2)^2 \) realmente é \(-5 + 12i\), que é a alternativa correta.