Sendo i a unidade imaginária e escrevendo o complexo \(z=\large{(3+i)^2 \over 1+i}\) na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, vamos trabalhar com o número complexo \( z = \dfrac{(3+i)^2}{1+i} \).

Começamos desenvolvendo o numerador:

\( (3+i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i \)

Assim, substituímos na expressão de \( z \):

\( z = \dfrac{8 + 6i}{1 + i} \)

Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \( 1 - i \):

\( z = \dfrac{(8 + 6i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} \)

Agora, calculamos o denominador:

\( (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)

Prosseguindo, vamos expandir o numerador:

\( (8 + 6i)(1 - i) = 8 \cdot 1 + 8 \cdot (-i) + 6i \cdot 1 + 6i \cdot (-i) \)

Isso resulta em:

\( 8 - 8i + 6i - 6(-1) = 8 - 2i + 6 = 14 - 2i \)

Portanto, substituindo tudo, temos:

\( z = \dfrac{14 - 2i}{2} = 7 - i \)

Agora, expressamos \( z \) na forma \( a + bi \), onde \( a = 7 \) e \( b = -1 \).

Por fim, calculamos \( a + b \):

\( a + b = 7 + (-1) = 6 \)

Assim, o valor de \( a + b \) é igual a 6, confirmando a alternativa correta (D).