Seja \(F: \mathbb{C}\to \mathbb{C}\) uma função que a cada número complexo \(z = x + yi\) associa o número complexo \(f(z)=3z \cdot e^{{\large{i \pi \over 3}}}\) O valor de \(f(2-i

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta que nos fornece o resultado de \( f(2 - i) \). Primeiro, lembramos que temos a função definida como:

\( f(z) = 3z \cdot e^{i \frac{\pi}{3}} \)

Substituímos \( z \) por \( 2 - i \):

\( f(2 - i) = 3(2 - i) \cdot e^{i \frac{\pi}{3}} = (6 - 3i) \cdot e^{i \frac{\pi}{3}} \)

Sabemos que podemos expressar \( e^{i \theta} \) usando a fórmula de Euler:

\( e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)

Ao calcular \( \theta = \frac{\pi}{3} \), temos:

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Portanto, podemos escrever:

\( e^{i \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

A substituição no cálculo de \( f(2 - i) \) resulta em:

\( f(2 - i) = (6 - 3i) \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

Agora, aplicamos a distributiva, multiplicando cada termo:

\( (6 - 3i) \left( \frac{1}{2} \right) + (6 - 3i) \left( i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

Isso nos dá:

\( 3 - \frac{3}{2}i + 3\sqrt{3}i - 3\sqrt{3} \)

A próxima etapa é reunir as partes real e imaginária:

Parte real: \( 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

Parte imaginária: \( 3\sqrt{3} - \frac{3}{2} \)

Finalmente, o resultado de \( f(2 - i) \) é expresso como:

\( \left( 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) + \left( 3\sqrt{3} - \frac{3}{2} \right)i \)

Assim, chegamos à opção (D) da questão, confirmando que a alternativa correta é:

\( \left( 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) + \left( 3\sqrt{3} - \frac{3}{2} \right)i \)