Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo \(z = 2 + 3i\). Fazendo-se uma rotação desta imagem, em torno da origem, de 60o no sentido trigonométrico, obtém-se a

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta:

Quando rotacionamos o número complexo \( z = 2 + 3i \) em torno da origem, usamos o conceito de multiplicação de números complexos. Para uma rotação de \( 60^\circ \), utilizamos a forma exponencial que corresponde à rotação:

\( e^{i 60^\circ} = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \)

Calculamos os valores de \( \cos 60^\circ \) e \( \sin 60^\circ \):

• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Portanto, temos:

\( e^{i 60^\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

Agora, multiplicamos \( z \) pelo número complexo correspondente à rotação:

\( (2 + 3i) \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \)

Efetuando essa multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva:

\( = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + 3i \cdot \frac{1}{2} + 3i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

Isso se simplifica para:

\( = 1 + \sqrt{3}i + \frac{3}{2}i - \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

Agora, agrupamos as partes real e imaginária:

\( = \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)i \)

Assim, chegamos à forma apresentada na alternativa correta:

\( \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)i \)

Portanto, a alternativa correta é a B.