A interpretação geométrica da operação de multiplicação entre dois números complexos, z1 e z2, no que se refere ao argumento do produto z1 \(\cdot\) z2, destaca que arg(z1 \(\cdot\

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A questão aborda a multiplicação de números complexos e, mais especificamente, a potenciação da forma trigonométrica desse número complexo.

Dados \(z = \sqrt{3}/2 + i/2\), precisamos encontrar \(z^{12}\). A primeira etapa é representar \(z\) na forma trigonométrica, que é dada por:

\(z = \rho \cdot (\cos \theta + i \cdot \sin \theta)\)

Onde \(\rho\) é o módulo e \(\theta\) é o argumento (ou ângulo) do número complexo. Vamos calcular o módulo:

\(\rho = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\)

Calculando isso, temos:

\(\rho = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1\)

Agora, vamos determinar o argumento \(\theta\) utilizando as relações:

\(\cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \quad \text{e} \quad \sin \theta = \frac{\frac{1}{2}}{1}\)

Assim, encontramos que:

\(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{e} \quad \sin \theta = \frac{1}{2}\)

Dessa forma, podemos concluir que \(\theta = 30^\circ\) ou \(\theta = \frac{\pi}{6}\) radianos.

Com essas informações, podemos expressar \(z\) como:

\(z = 1 \cdot (\cos 30^\circ + i \cdot \sin 30^\circ)\)

Agora, para calcular \(z^{12}\), utilizamos a fórmula para potenciação na forma trigonométrica:

\(z^n = \rho^n \cdot (\cos(n \cdot \theta) + i \cdot \sin(n \cdot \theta))\)

Aqui, substituindo \(\rho = 1\) e \(n = 12\), obtemos:

\(z^{12} = 1^{12} \cdot (\cos(12 \cdot 30^\circ) + i \cdot \sin(12 \cdot 30^\circ))\)

Calculando o argumento:

\(12 \cdot 30^\circ = 360^\circ\)

Isso nos leva a:

\(z^{12} = 1 \cdot (\cos 360^\circ + i \cdot \sin 360^\circ)\)

Como \(\cos 360^\circ = 1\) e \(\sin 360^\circ = 0\), temos:

\(z^{12} = 1 \cdot (1 + i \cdot 0) = 1\)

Portanto, a conclusão é que \(\Bigl ( {\sqrt{3} \over 2} + {i \over 2} \Bigr )^{12} = 1\), tornando a alternativa correta a letra E.