Dentre os números complexos abaixo, aquele cujo módulo é igual ao dobro do módulo de \(z=4+6i\) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa D, que apresenta o número complexo \(6\sqrt{3}-10i\).

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do número complexo \(6\sqrt{3}-10i\). O módulo de um número complexo \(w = m + ni\) é dado pela fórmula:

\( |w| = \sqrt{m^2 + n^2} \)

Para \(w = 6\sqrt{3}-10i\), temos:

\(m = 6\sqrt{3}\) e \(n = -10\)

Agora, substituindo os valores na fórmula do módulo, teremos:

\( |w| = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (-10)^2} \)

Calculando os quadrados:

\( |w| = \sqrt{108 + 100} \)

Assim, somamos:

\( |w| = \sqrt{208} \)

A partir disso, vamos comparar com o módulo do número complexo \(z = 4 + 6i\). Primeiro, calculamos o módulo de \(z\):

\( |z| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \)

Precisamos encontrar um número complexo cujo módulo seja o dobro do módulo de \(z\). Portanto, temos:

\( |w| = 2|z| = 2\sqrt{52} \)

Agora, elevando ao quadrado:

\( |w|^2 = (2\sqrt{52})^2 = 4 \cdot 52 = 208 \)

Concluímos que o módulo do número complexo \(w\) é, de fato:

\(m^2 + n^2 = 208\)

Portanto, a alternativa D está correta, pois o módulo de \(6\sqrt{3}-10i\) é igual ao dobro do módulo de \(4+6i\), conforme solicitado na questão.