Sendo i a unidade imaginária e \(0 \le θ \le \pi\) (radianos), então o número complexo \(z=1+e^{6 θ i}\) pode ser escrito na forma

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para compreender a alternativa correta, que é \( 2 e^{3 \theta i} \cos 3\theta \), vamos analisar o número complexo \( z = 1 + e^{6 \theta i} \) passo a passo.

Primeiramente, reescrevemos \( e^{6 \theta i} \) utilizando a forma trigonométrica:

\( e^{6 \theta i} = \cos 6 \theta + i \sin 6 \theta \)

Com isso, temos:

\( z = 1 + \cos 6 \theta + i \sin 6 \theta \)

A partir daqui, podemos simplificar essa expressão. Sabemos que o número \( 1 \) pode ser reescrito como \( \cos 0 + i \sin 0 \). Assim, podemos juntar os termos reais:

\( z = (\cos 0 + i \sin 0) + (\cos 6 \theta + i \sin 6 \theta) \)

Fazendo isso para as partes reais e imaginárias, obtemos:

\( z = \cos 6 \theta + \cos 0 + i (\sin 6 \theta) \)

Utilizando a identidade de somas de ângulos, podemos reescrever \( \cos 6\theta \) e \( \sin 6\theta \) usando duplicidade:

\( \cos 6 \theta = 2\cos^2 3\theta - 1 \)

\( \sin 6 \theta = 2\sin 3\theta \cos 3\theta \)

Substituindo essas identidades em \( z \), obtemos:

\( z = 2\cos^2 3\theta + (2\sin 3\theta \cos 3\theta)i \)

A próxima etapa é fatorar \( 2\cos 3\theta \) em evidência. Isso nos leva a:

\( z = 2 \cos 3\theta \left( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right) \)

O termo que fica entre parênteses pode ser expresso na forma exponencial \( e^{3 \theta i} \):

\( \cos 3\theta + i \sin 3\theta = e^{3 \theta i} \)

Finalmente, chegamos à expressão:

\( z = 2 e^{3 \theta i} \cos 3\theta \)

Assim, confirmamos que a alternativa correta é, de fato, \( 2 e^{3 \theta i} \cos 3\theta \).