Sendo i a unidade imaginária e \(0 \le θ \le \pi\) (radianos), então o número complexo \(z=\sin({\large{θ \over 2}})[e^{6θi +1}]\) tem módulo definido pelo intervalo real

Gabarito

D

Comentário do professor

Para entender a alternativa D, que afirma que o módulo do número complexo \(z=\sin({\large{θ \over 2}})[e^{6θi +1}]\) está no intervalo [0, e], vamos analisar as partes que o compõem.

O número complexo pode ser reescrito como:

\(z = \sin\left(\frac{θ}{2}\right) \cdot e^{6θi} \cdot e\)

A partir desta forma, fica claro que o módulo \(|z|\) é o produto de dois fatores importantes:

\(|z| = \sin\left(\frac{θ}{2}\right) \cdot e\)

Agora, precisamos nos atentar para o primeiro fator, \(\sin\left(\frac{θ}{2}\right)\), que dentro do intervalo \(0 \leq θ \leq \pi\) varia de 0 até 1:

• Quando \(\theta = 0\), \(\sin\left(\frac{0}{2}\right) = 0\), resultando em \(|z| = 0\).
• Quando \(\theta = \pi\), \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), resultando em \(|z| = e\).

Portanto, \(|z|\) varia entre:

\(0 \cdot e \text{ (para } \theta = 0) \text{ e } 1 \cdot e \text{ (para } \theta = \pi)\)

Assim, o módulo de \(z\) efetivamente assume todos os valores dentro do intervalo [0, e], confirmando que a alternativa D está correta.