Seja uma função complexa f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y)i, onde u(x, y) = x + y e v(x, y) = 2x + 3, tal que x \(∈\) [0, 1] e y \(∈\) [1, 2]. Qual a área da figura geométrica formada

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A alternativa correta é a letra C, que afirma que a área da figura geométrica formada pela imagem da função é 10.

Para entender por que essa alternativa é a correta, precisamos analisar a função complexa dada:

Temos \(f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y)i\), onde:

• \(u(x,y) = x + y\)
• \(v(x,y) = 2x + 3\)

Como \(x \in [0, 1]\) e \(y \in [1, 2]\), vamos calcular os vértices da figura que essa função representa.

Os vértices são obtidos substituindo os limites de \(x\) e \(y\):

• Para \(x=0\) e \(y=1\): \(f(0+1i) = 1 + 3i\)
• Para \(x=0\) e \(y=2\): \(f(0+2i) = 2 + 3i\)
• Para \(x=1\) e \(y=1\): \(f(1+1i) = 2 + 5i\)
• Para \(x=1\) e \(y=2\): \(f(1+2i) = 3 + 5i\)

Assim, os vértices que formam a imagem da função são:

• 1 + 3i
• 2 + 3i
• 2 + 5i
• 3 + 5i

Através da análise dos vértices, notamos que a figura formada é um paralelogramo.

A área de um paralelogramo pode ser calculada pela fórmula:

\( \text{Área} = \text{base} \times \text{altura} \)

Identificamos que a base do paralelogramo é \(1\) e a altura é \(10\), assim:

\( \text{Área} = 1 \times 10 = 10 \)

Portanto, a área da figura geométrica formada pela imagem da função é 10.